Álgebra de comisiones

(Añadido el 7 de Julio del 2016: esta entrada es importante; la he editado para hacerla más legible).

Hace unos días chateaba con un asesor de fondos de pensión, y noté que, por ignorancia o mala intención, el asesor decía que me era mejor poner plata en un fondo voluntario, a comisiones sobre saldo del 4%, que en el fondo obligatorio a comisiones sobre aportes de alrededor del 12%, porque, según la interpretación “4% es menos que 12% y para usted es mejor!”.

No, ese 4% sobre saldos no es mejor que el 12% sobre depósito, pero no es fácil mostrarlo en un texto de chat.

GraficaDiferentesComisiones

Entendamos que hay dos tipos principales de comisiones en Colombia(*):

  • comisiones de entrada o pago o aporte — un porcentaje del aporte mensual, lo que se llevan los hombrecitos de las bolsitas, en este ejemplo “10%”.
  • comisiones de administración — un porcentaje del total del marrano, cada vez: lo que se va por el grifo de abajo (un grifo no era la mejor imagen — o imagine que el grifo se abre una vez al año).

Como en clase de física donde al principio se estudian péndulos y planos sin fricción, consideremos el valor futuro de una inversión inicial K_0, que a lo largo de n períodos de tiempo obtuvo rentabilidades r_1, r_2, ..., r_n. Ese valor futuro será

VF = K_0 (1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)

(Véase esta entrada para una explicación de las fórmulas.)

 

Efecto de comisión de entrada.

¿Cuál es el efecto de una comisión de entrada (C_E) (cobrada sólo una vez, cuando el depósito se hace) en ese valor futuro?

VF_E = K_0 (1-C_E)(1+r_1)...(1+r_n)

Al comparar VF y VF_E,

\frac{VF_E}{VF} = \frac{K_0 (1-C_E)(1+r_1)...(1+r_n)}{K_0 (1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)} = (1-C_E)

Por ejemplo, si la comisión de entrada fue 12%, ese será el efecto en el valor futuro (no importa cuán lejano o cercano): 12% menos.

(La “comisión de salida” es la cobrada cuando se saca la plata; es algebraicamente igual que la comisión de entrada. Por la ley de conmutación, K_0 (1-C_E)(1+r_1)...(1+r_n) = K_0(1+r_1)...(1+r_n)(1-C_E): uno debería ser indiferente entre ellas si la tasa fuera la misma.

Efecto de comisión sobre saldo.

¿Cuál es el efecto de una comisión sobre saldo (C_S) (por la que, período a período, el saldo total hasta entonces acumulado se ve disminuido en esa proporción).

Suponiendo que la tasa de la comisióñ se mantiene estable a lo largo del tiempo,

VF_S = K_0(1+r_1)(1-C_S)(1+r_2)(1-C_S)...(1+r_n)(1-C_S)\\=K_0(1-C_S)^n(1+r_1)...(1+r_n)

(ver esta entrada si no se entiende la fórmula).

Al compararlas,

\frac{VF_S}{VF} = \frac{K_0 (1-C_S)^n(1+r_1)...(1+r_n)}{K_0 (1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)} = (1-C_S)^n

El efecto de una comisión sobre saldo crece geométricamente con el número de periodos de inversión.

Es entonces evidente en la formulación que aunque C_S sea mucho menor que C_E, (por ejemplo, C_S=0.04=4\% como los cobrados por los administradores de fondos voluntarios de pensiones, frente a C_E=0.115=11.5\% como lo que es típicamente cobrado en los fondos obligatorios), a lo largo del tiempo, cuando (1-C_S) es compuesto periodo tras periodo, el efecto termina siendo mayor. Por ejemplo, si C_E=33\%, (1-C_E)= 66\% , pero

  • (1-0.04)^5    \approx 82\%
  • (1-0.04)^{10} \approx 66\%
  • (1-0.04)^{15} \approx 54\%,
  • (1-0.04)^{20} \approx 44\%,
  • (1-0.04)^{30} \approx 29\%, etc.

Así que no se deje confundir, no caiga en esas situaciones donde escoger una opción con aparente ventaja lo lleva a la pérdida. Escoger una inversión con comisión sobre saldo del 4% (en vez de una que le quita un tercio de cada contribución) es sólo mejor hasta el décimo año; de ahí en adelante es muy mal negocio.

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